Terimakasih kepada saudara Aulia yogi yang telah memberikan pertanyaan.
Bagaimana teorema saling bertolak belakang ?
Pembuktian Teorema Menggunakan Sudut Vertikal
Teorema pada bab ini adalah tentang hubungan antara sudut yang terbentuk dari garis yang berpotongan.
Garis BC dan garis AD bersimpangan pada O. Sudut AOB dan sudut COD adalah sudut vertical.
Definisi : Sudut bertolak belakang adalah dua sudut yang dibentuk dari dua garis yang berpotongan tetapi yang bukan pasangan sudut yang segaris.
1. Sudut 1 dan sudut 2 adalah sudut berpelurus.
2. Sudut 3 dan sudut 2 adalah sudut berpelurus.
3. Sudut 1 dan sudut 3 adalah sudut yang kongruen.
4. Sudut 3 dan sudut 4 adalah sudut berpelurus.
5. Sudut 2 dan sudut 4 adalah sudut yang kongruen.
- Pasangan sudut segaris adalah pasangan sudut dengan sisi bersama seperti gabungan dari dua sisi yang segaris.
- Pasangan sudut berpelurus adalah dua sudut yang memiliki jumlah sudut sama dengan 1800 .
- Linear pair postulate : Jika dua sudut membentuk sebuah garis, maka sudut tersebut adalah dua garis sudut berpelurus.
4-5. Pembuktian Teorema Menggunakan Sudut Luar
Meninjau ulang beberapa sifat pertidaksamaan bilangan real:
a. Definisi lebih dari : a > b yaitu a = b + c dimana c adalah bilangan positif.
b. Sifat Transitif : jika a > b dan b > c maka a > c.
c. Sifat Penambahan : jika a > b maka a + c > b + c.
d. Sifat Perkalian : jika a > b dan c > 0, maka ac > bc. Jika a > b dan c < 0 maka ac<>
e. Sifat Trichotomy : Untuk bilangan real a dan b maka a = b atau a > b atau a < b.
Sifat-sifat di atas akan digunakan untuk membuktikan teorema pada bab ini. Pertama, kita membutuhkan dua definisi.
Definisi :
a. Sudut luar segitiga adalah sebuah sudut yang membentuk pasangan segaris dengan satu sudut dari segitiga tersebut.
b. Sudut dalam jauh berkenaan dengan sudut luar segitiga adalah dua sudut dalam segitiga yang tidak berdekatan dengan sudut luar.
Teorema sudut luar : Ukuran besar sudut luar segitiga lebih dari sudut dalam jauh (besar sudut luar > besar sudut dalam jauh) .
Bukti:
Diketahui : ∆ ABC dengan sudut luar yaitu sudut 1.
Buktikan besar sudut 1 > besar sudut 2
Pernyataan dan alasan :
1. Sudut 1 adalah sudut luar ∆ ABC (diketahui)
2. Ambil M nenjadi titik tengah dari garis AC (pilih M)
3. Pada ruas garis BM pilih titik D sehingga ruas garis BM ≅ ruas garis MD (dalil garis-titik : dua titik terkandung pada sebuah garis. Pilih D)
4. Ruas garis AM ≅ MC ( definisi titik tengah)
5. Sudut BMA ≅ sudut DMC (karena sudut yang bertolak belakang itu kongruen)
6. ∆ AMB ≅ ∆ CMD ( segitiga yang memiliki sudut-sudut yang sama itu kongruen)
7. Sudut MCD ≅ sudut 2 (CPCTC)
8. Besar sudut MCD = besar sudut 2 ( definisi sudut kongruen)
9. Besar sudut MCD + besar sudut DCE = besar sudut 3 ( definisi antara sinar)
10. Besar sudut 2 + besar sudut DEC = besar sudut 3 ( substitusi)
11. Besar sudut 3 > besar sudut 2 (definisi ebih dari)
12. Besar sudut 1 = besar sudut 3 (karena sudut yang bertolak belakang itu kongruen)
13. Besar sudut 1 > besar sudut 2 (substitusi)
4-6. Menggunakan Bukti Tidak Langsung
Cara pembuktian secara langsung diawali dengan syarat-syarat yang diketahui dan diakhiri dengan kesimpulan yang benar. Cara pembuktian tidak langsung meliputi mengasumsikan negasi dari apa yang ingin kamu buktikan. Dengan menggunkan alas an, kita tunjukkan bahwa asumsi itu menuju pada kontradiksi. Jadi pernyataan yang dibuktikan pasti benar.
Langkah untuk membuktikan teorema menggunakan bukti tidak langsung :
1. Tulis ‘GIVEN’ (diketahui) dan ‘PROVE’ (membuktikan) dari hipotesa.
2. Mengambil negasi dari pernyataan BUKTI.
3. Tulis langkah pada pembuktian untuk menunjukkan bahwa assumsi menuju pada kontradiksi dari fakta yang diketahui (teorema, definisi, informasi yang diketahui dan sebagainya).
4. Simpulkan bahwa assumsi itu salah dan pembuktian pernyataan itu benar.
2. Apakah besar sudut AOB dan COD sama ? Iya sudut AOB dan COD sama.
Teoremanya seperti gambar di atas.
Terimakasih..